A sequência de Fibonacci é definida como se segue. Os dois primeiros elementos da sequência são iguais a 1, ou seja, F1 = 1 e F2 = 1. A partir daí, os próximos elementos são construídos somando-se os dois anteriores. Por exemplo, F3 = F1 + F2 = 1 + 1 = 2, F4 = F2 + F3 = 1 + 2 = 3 e F5 = F3 + F4 = 2 + 3 = 5. Assim,
F1 = 1, F2 = 1 e Fn + 2 = Fn + Fn + 1 para n ≥ 1.
Mas qual é a relação entre a sequência de Fibonacci e o número de ouro? Observe, com atenção, a tabela abaixo.
| n | Fn | Fn/Fn − 1 | Fn/Fn − 1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | – | – |
| 2 | 1 | 1/1 | 1.000000000000000000... |
| 3 | 2 | 2/1 | 2.000000000000000000... |
| 4 | 3 | 3/2 | 1.500000000000000000... |
| 5 | 5 | 5/3 | 1.666666666666666666... |
| 6 | 8 | 8/5 | 1.600000000000000000... |
| 7 | 13 | 13/8 | 1.625000000000000000... |
| 8 | 21 | 21/13 | 1.615384615384615384... |
| 9 | 34 | 34/21 | 1.619047619047619047... |
| 10 | 55 | 55/34 | 1.617647058823529411... |
| 11 | 89 | 89/55 | 1.618181818181818181... |
| 12 | 144 | 144/89 | 1.617977528089887640... |
| 13 | 233 | 233/144 | 1.618055555555555555... |
| 14 | 377 | 377/233 | 1.618025751072961373... |
| 15 | 610 | 610/377 | 1.618037135278514588... |
| 16 | 987 | 987/610 | 1.618032786885245901... |
| 17 | 1597 | 1597/987 | 1.618034447821681864... |
| 18 | 2584 | 2584/1597 | 1.618033813400125234... |
| 19 | 4181 | 4181/2584 | 1.618034055727554179... |
| 20 | 6765 | 6765/4181 | 1.618033963166706529... |
| 21 | 10946 | 10946/6765 | 1.618033998521803399... |
| 22 | 17711 | 17711/10946 | 1.618033985017357939... |
A última coluna desta tabela sugere que, quando n cresce, a razão Fn/Fn − 1 se aproxima cada vez mais do número de ouro:
De fato, é possível demonstrar que esta conjectura é verdadeira! A figura abaixo ilustra uma contrapartida geométrica para este fato: a espiral de quadrados (o número no interior do quadrado indica a medida de seus lados) formam retângulos cujas medidas dos lados estão, sucessivamente, nas razões indicadas nas primeiras linhas da tabela acima. Os sucessivos retângulos “se aproximam” cada vez mais de um retângulo áureo.
1/1 2/1 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34
A FÓRMULA DE BINET
A definição que demos para a sequência de Fibonacci é recursiva, isto é, para calcular um determinado elemento da sequência, precisamos calcular os elementos anteriores. A fórmula de Binet dá uma expressão para Fn que depende apenas de n:
Observe, mais uma vez, a estreita relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci.
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