14 de maio de 2012

O NÚMERO DE OURO E A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

 A sequência de Fibonacci é definida como se segue. Os dois primeiros elementos da sequência são iguais a 1, ou seja, F1 = 1 e F2 = 1. A partir daí, os próximos elementos são construídos somando-se os dois anteriores. Por exemplo, F3 = F1 + F2 = 1 + 1 = 2, F4 = F2 + F3 = 1 + 2 = 3 e F5 = F3 + F4 = 2 + 3 = 5. Assim,
F1 = 1,      F2 = 1       e       Fn + 2 = Fn + Fn + 1     para n ≥ 1.
Mas qual é a relação entre a sequência de Fibonacci e o número de ouro? Observe, com atenção, a tabela abaixo.
n Fn Fn/Fn − 1 Fn/Fn − 1
1 1
2 1 1/1 1.000000000000000000...
3 2 2/1 2.000000000000000000...
4 3 3/2 1.500000000000000000...
5 5 5/3 1.666666666666666666...
6 8 8/5 1.600000000000000000...
7 13 13/8 1.625000000000000000...
8 21 21/13 1.615384615384615384...
9 34 34/21 1.619047619047619047...
10 55 55/34 1.617647058823529411...
11 89 89/55 1.618181818181818181...
12 144 144/89 1.617977528089887640...
13 233 233/144 1.618055555555555555...
14 377 377/233 1.618025751072961373...
15 610 610/377 1.618037135278514588...
16 987 987/610 1.618032786885245901...
17 1597 1597/987 1.618034447821681864...
18 2584 2584/1597 1.618033813400125234...
19 4181 4181/2584 1.618034055727554179...
20 6765 6765/4181 1.618033963166706529...
21 10946 10946/6765 1.618033998521803399...
22 17711 17711/10946 1.618033985017357939...


A última coluna desta tabela sugere que, quando n cresce, a razão Fn/Fn − 1 se aproxima cada vez mais do número de ouro:
De fato, é possível demonstrar que esta conjectura é verdadeira! A figura abaixo ilustra uma contrapartida geométrica para este fato: a espiral de quadrados (o número no interior do quadrado indica a medida de seus lados) formam retângulos cujas medidas dos lados estão, sucessivamente, nas razões indicadas nas primeiras linhas da tabela acima. Os sucessivos retângulos “se aproximam” cada vez mais de um retângulo áureo.


1/1   2/1    3/2    5/3    8/5    13/8    21/13    34/21    55/34

















A FÓRMULA DE BINET

A definição que demos para a sequência de Fibonacci é recursiva, isto é, para calcular um determinado elemento da sequência, precisamos calcular os elementos anteriores. A fórmula de Binet dá uma expressão para Fn que depende apenas de n:



Observe, mais uma vez, a estreita relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci.



Fonte

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Deve-se estar sentado confortável com a coluna vertebral bem direita. Começamos por inspirar profundamente pelo nariz e expiramos pela boca. Visualizamos a inspiração em energia branca e pura e a expiração levando todas as toxinas e energias negativas em névoas negras. Seguidamente concentramo-nos na energia do universo, das estrelas, dos planetas e focalizamo-nos em inspirar essa energia, preenchendo-nos completamente com ela. Sentimos o nosso corpo envolvido e preenchido com essa energia de paz e amor universal. Mantemos esta sensação durante cerca de dois minutos e depois, lentamente, pensamos somente em inspirar paz. Pensamos na paz e concentramo-nos na respiração desse sentimento, um sentimento de paz. Quando expiramos, enviamos paz também para o universo, preenchendo-o. Fazer esta respiração durante cerca de dois minutos e está-se pronto para a Meditação da Luz Dourada. Visualizamos de seguida, que inspiramos uma luz dourada. Sentimo-la a entrar para os nossos pulmões e a espalhar-se por todo o nosso corpo. Fazêmo-lo nove vezes. Passamos a respirar regularmente pelo nariz. Depois, começamos a visualizar uma linha dourada desde a base da espinha até ao topo da cabeça. Visualizamos essa linha dourada da grossura de um fio de electricidade. Fazêmo-lo nove vezes. Visualizamos então a grossura do fio dourado a aumentar lentamente até atingir a grossura de um lápis. Sentimos a luz dourada desde a ponta da espinha até ao topo da cabeça. Novamente sentimos a expansão da grossura da luz dourada até atingir a grossura de um dedo a fluir desde o topo da cabeça até à base da espinha. Agora, sentimos a luz a expandir-se para uma coluna de luz dourada que flui desde a base da espinha até o topo da cabeça. Visualizamos esta bela coluna de luz dourada a expandir-se lentamente até nos envolver completamente todo o corpo. Ficamos a sentir, pacificamente, essa luz dourada a envolver-nos. Agora, lentamente visualizamos a coluna de luz que nos envolve, a transformar-se num grande ovo de luz dourada que nos envolve completamente. Sentimos a sua paz e também a sua protecção. Tudo o que está dentro desse ovo cintila de energia, alimenta a nossa aura de energia e fortalece-a. Ficamos durante cerca de dois minutos sentindo-nos envolvidos por esse ovo de luz dourada. Depois, começamos a visualizar o encolhimento do ovo dourado. Primeiro sentindo-o voltar à forma de coluna, e depois lentamente sentimo-la encolher até à base da espinha e ao topo da cabeça. Depois sentimo-la a encolher lentamente até ficar do tamanho de um dedo, depois de um lápis, e finalmente, da grossura dum único fio dourado. Agora, sentimos a energia desse fio dourado a fluir desde a base da espinha até ao topo da cabeça e focalizamo-nos no ponto de intersecção das linhas do terceiro olho e do topo da cabeça. Respiramos por nove vezes, sentindo a energia da luz dourada nesse local da cabeça e depois, deixamos a energia fluir de novo para a boca, estômago, baixo abdómen, deixando-a dissolver-se aí lentamente. Respiramos fundo mais umas quantas vezes e sentimos toda a paz e protecção que essa luz dourada nos proporcionou. Sentimos que podemos fazer esse exercício sempre que quisermos, envolver-nos nessa luz dourada e fortalecer a nossa aura com a sua protecção e energia.

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